相似矩阵与合同矩阵,

1. 如何判断矩阵合同、相似、等价？

如何判断矩阵合同、相似、等价？

1、合同即特征值正负0个数分别相同；

2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；

3、等价，秩相等；

合同和相似是特殊的等价关系。

等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。

A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。

合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。

如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。

ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。